2.3.3 Integral de Xn

Demostración #1: Desde la derivada

Dando :

1. x^{^m} = m x^{^(m-1)}
2. El teorema fundamental de cálculo

m x^{^(m-1)} dx =  x^{^m} dx = x^{^m} + d. (El Teorema fundamental de cálculo (d = una constante arbitraria)

x^{^(m-1)} dx = x^{^m} / m + c (Divida ambos lados por m) (c=una constante arbitraria, d/m = c)

x^{^n} dx = x^{^(n+1)} / (n+1) + c (Fije m=n+1, substitución) QED.

Demostración #2: El método de Fermat

Siendo:

1. 1 + r + r^{^2} + .. + r^{^n} = (1 - r^{^(n+1)}) / (1-r)
2. 1 + r + r^{^2} + ... = 1 / (1-r) (r < 1)

(0 to b) x^{^n} dx es computado por tomando las áreas de un número infinito de subintervalos; sub intervalos mas grandes a x cerca de b, mas pequeños cuando cerca de 0.

(0 to b) f(x) dx = f(b)*(b - br) + f(br)*(br - br^{^2}) + f(br^{^2})*(br^{^2} - br^{^3}) + ... (r -> 1-)

= b^{^n}*(b - br) + (br)^{^n}*(br - br^{^2}) + (br^{^2})^{^n}*(br^{^2} - br^{^3}) + ...

= b^{^(n+1)}(1-r) + b^{^(n+1)}r^{^(n+1)}(1-r) + b^{^(n+1)}r^{^(2n+2)}(1-r) + ...

= b^{^(n+1)}(1-r) [ 1 + r^{^(n+1)} + (r^{^(n+1)})^{^2} + ... ]

= b^{^(n+1)}(1-r) [ 1 / (1-r^{^(n+1)}) ] (Teorema 2.)

= b^{^(n+1)} / [ (1 - r^{^(n+1)}) / (1-r) ]

= b^{^(n+1)} / [ 1 + r + r^{^2} + .. + r^{^n} ] (Teorema 1.)

= b^{^(n+1)} / (n+1) (r -> 1) QED.

 Potencia de x.

xn dx = x(n+1) / (n+1) + C (n  -1)  Demostración

1/x dx dx = ln|x| + C

Exponente / Logaritmo

ex dx = ex + C  Demostración	bx dx = bx / ln(b) + C  Demostración
ln(x) dx = x ln(x) - x + C Demostración

Trigonométrica

sen x dx = -cos x + C  Demostración	cos x dx = sen x + C  Demostración	tan x dx = -ln|cos x| + C Demostración
csc x dx = - ln|csc x + cot x| + C	sec x dx = ln|sec x + tan x| + C	cot x dx = ln|sen x| + C

Resuelta Trigonométrica

cos x dx = sen x + C  Demostración	sen x dx = -cos x + C  Demostración	sec2 x dx = tan x + C  Demostración
csc x cot x dx = -csc x + C  Demostración	sec x tan x dx = sec x + C  Demostración	csc2 x dx = -cot x + C  Demostración

Trigonométrica Inversa

arcsen x dx = 1  (1-x2) + C	arccsc x dx = -1 |x|(x2-1) + C
arccos x dx = -1  (1-x2) + C	arcsec x dx = 1  |x|(x2-1) + C
arctan x dx = 1 1+x2 + C	arccot x dx = -1 1+x2 + C

Hyperbólica

senh x dx = cosh x + C	cosh x dx = senh x + C	tanh x dx = ln( cosh x ) + C
csch x dx = ln( tanh(x/2) ) + C	sech x dx = atan( senh x ) + C	coth(x) dx = ln( senh x ) + C