3.1 Área bajo la curva

Enseguida, graficaremos una función en un intervalo [a,b] y se mostrará el área contenida entre su gráfica y el eje x en el intervalo dado. Observa la siguiente gráfica.
 

f(x)= x² + 1 
en el intervalo cerrado [1,5]

   Igual que con el problema de la tangente, empezaremos por hacer aproximaciones. Aproximaremos el área bajo la curva con el área de ciertos rectángulos.

    Observa las siguientes gráficas: 
 

 
    Como pudiste ver en las gráficas anteriores, con los primeros rectángulos estamos sobrestimando valor del área y con los segundos rectángulos la estamos subestimando.

    A continuación calcularemos aproximaciones cada vez mejores, tomando cada vez más y más rectángulos.

Dada una función f(x)>0 en un intervalo [a,b], para encontrar el área bajo la curva procedemos como sigue:     Hacemos una partición (dividimos) del intervalo [a,b] en n-subintervalos iguales de longitud x=(b-a)/n. Esta será la longitud de la base de cada uno de los n rectángulos.  En cada subintervalo escogemos un valor especial de x para evaluar la función. A este valor lo denotamos como x* y entoncesf(x*) es la altura del rectángulo en ese subintervalo.  Ahora sumamos las áreas de los n rectángulos. El área de los n rectángulos es entonces:  n [ f(x*)(x)] k=1        A la sumatoria anterior se le conoce como Sumatoria de Riemann.

Definimos el área bajo la curva como: Límite de la sumatoria de Riemann cuando n tiende a Infinito.