3.4 Área entre una y dos curvas

   En esta sección estudiaremos como calcular el área entre dos curvas.

    El problema es el siguiente: Dadas dos funciones f y g , encontrar el área contenida entre sus gráficas en el intervalo [a,b] .

    Para ilustrar el problema y el procedimiento, observa el siguiente ejemplo. 

f(x)= 3x3 - x2 - 10x	g(x)= - x2 + 2x

    Utilizaremos el mismo procedimiento que se usó para encontrar el área bajo una curva. Se aproximará el área entre las dos curvas haciendo una partición del intervalo [a,b] en n subintervalos de longitud (b-a)/n. En cada subintervalo escogemos un valor particular de x, al que llamaremos x*.

Evaluamos f(x*) y g(x*) y formamos rectángulos de base (b-a)/n y de altura f(x*)-g(x*) (si f(x*)>g(x*)). El área de dicho rectángulo es (f(x*)-g(x*))((b-a)/n). Al sumar las áreas de los rectángulos obtenemos una aproximación al valor del área entre las curvas. Tomando el límite cuando n--->Infinito obtendremos el valor exacto del área buscada. Por definición, el límite de la sumatoria de Riemann es la integral definida de f(x)-g(x) en [a,b]. Si g(x)>f(x) en alguna parte del intervalo, entonces la altura de los rectángulos es g(x*)-f(x*). Enseguida se calculará el área de la región entre dos curvas. Dentro del intervalo (-2,2), las curvas: y=2(1-x2) y y=x2-1  se intersectan en x = -1, 1.  f(x)=2(1 - x2) ; g(x)=x2-1  El área entre las curvas en cada subintervalo es: {4, 4, 4}Cada una de estas áreas tiene que ser calculada por separado. El área total entre las curvas es:  4 + 4 + 4 = 12 Dentro del intervalo (-1,1.5), las curvas:  y = -x2/3+1 y y = x2/3  se intersectan en x = 1.  f(x)= -x2/3+1 ; g(x)=x2/3-1El área entre las curvas en cada subintervalo es: {1.6, 0.15867}  Cada una de estas áreas tiene que ser calculada por separado. El área total entre las curvas es:1.6 + 0.15867 = 1.75867