matematicas II: noviembre 2014

miércoles, 26 de noviembre de 2014

links de la informacion

http://www.scribd.com/doc/6431710

http://youtu.be/MiHpezNEl_Q

https://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/horra/Matematicas-Apuntes/5-Funciones-Varias-Variables.pdf

http://www.zweigmedia.com/MundoReal/tutorialsf0/framesF2A.html

http://calculodiferencialgrupo501.blogspot.mx/2012/02/concepto-de-antiderivada.html

http://carmesimatematic.webcindario.com/integralindefinida.htm

http://www.inetor.com/indefinidas/formulas_integrales.html

http://www.emp.uva.es/inf_acad/hermer/mate2/material/m2_prevt_integracion.pdf

http://math2.org/math/integrals/es-tableof.htm

http://youtu.be/dUTVzmmdZu0

http://www.wikillerato.org/Métodos_de_resolución_de_sistemas_de_ecuaciones_lineales.html

http://es.slideshare.net/mobile/Joanemarie28/sistemas-de-ecuaciones-lineales-9123694

Matematicas para administración y economía, haeussler paul, 10ª edición

martes, 25 de noviembre de 2014

Objetivo general

Este blogger esta diseñado para que conozcan un poco sobre las matemáticas avanzadas para administradores ya que contiene información esencial así como también vídeos...espero sea de su agrado.

Modulo 4: Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

4.4 Aplicaciones: modelos insumo-producto, análisis de ventas y comportamiento del consumidor

A fin de presentar en las siguientes líneas la esencia del modelo de Insumo–Producto, imaginemos una economía sin comercio exterior y sin impuestos, para simplificar la exposición. Pensemos en una matriz insumo–producto esquemática como la que se muestra a continuación (véase Leontief, 1986 y Millery Blair, 1985).

Donde el elemento típico de W es W_ij, que representa las ventas del sector i al j, f es un vector columna que muestra las ventas del sector i a la demanda final y y es un vector hilera que muestra los pagos del sector j a los factores de producción.

Entonces, la matriz insumo producto se puede representar alternativamente como:

que no es más que una representación de la matriz insumo producto en términos de flujos.

Definamos ahora W_ij = a_ij q_j , es decir el coeficiente a_ij = W_ij / q_j , y tenemos:

que, expresado en forma matricial, se reduce a:

q = Aq + f

donde la matriz A es la matriz de coeficientes cuyo elemento típico es a_ij.

Hasta ahora, el sistema no es más que una forma contable de representación de flujos en la matriz de Insumo–Producto y no se ha postulado ningún comportamiento económico. Sin embargo, si se piensa en este sistema como un sistema de ecuaciones que representa el funcionamiento de una economía y se hace el supuesto de que los sectores operan con funciones de producción que no permiten sustituibilidad entre insumos (coeficientes a_ijfijos), podemos entonces imaginar que el sistema describe la formación de la oferta y demandas. Se tiene entonces la representación de un modelo económico en el que los precios de los factores son fijos.

Este sistema tiene la siguiente solución:

donde la matriz B es conocida como la matriz inversa de Leontief o matriz de multiplicadores (análoga al multiplicador keynesiano).

La matriz B = (I –A)–¹ es fundamental en el análisis insumo–producto, pues muestra los impactos totales de la demanda de producto de cada sector en el resto de los sectores. Es decir, esta matriz tiene características análogas a las del multiplicador keynesiano pues permite incorporar la interdependencia tecnológica del sistema productivo y rastrear la generación de la demanda final hacia atrás en el sistema. Entonces permite calcular cuánta producción se requiere para atender diversos niveles de demanda final y, en consecuencia, cómo deberían cambiar los niveles de producción para satisfacer esos cambios en la demanda final, los que pueden provenir de, por ejemplo, aumentos en los montos de inversión, pública y/o privada, además de otros componentes de la demanda final. Nótese que, en la medida en que se pueden estimar los niveles de producción requeridos en todos los sectores para satisfacer el cambio en la demanda final, se pueden también estimar los requerimientos de insumos, empleo e ingreso de todos los sectores.

4.3.4 Regla del cramer

La regla de Cramer es un teorema del álgebra lineal que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes. Recibe este nombre en honor a Gabriel Cramer (1704 - 1752), quien publicó la regla en su Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques de 1750, aunque Colin Maclaurintambién publicó el método en su Treatise of Geometry de 1748 (y probablemente sabía del método desde 1729).¹

La regla de Cramer es de importancia teórica porque da una expresión explícita para la solución del sistema. Sin embargo, para sistemas de ecuaciones lineales de más de tres ecuaciones su aplicación para la resolución del mismo resulta excesivamente costosa: computacionalmente, es ineficiente para grandes matrices y por ello no es usado en aplicaciones prácticas que pueden implicar muchas ecuaciones. Sin embargo, como no es necesario pivotar matrices, es más eficiente que la eliminación gaussiana para matrices pequeñas, particularmente cuando son usadas operaciones SIMD.

\mathbf{Ax} = \mathbf{b}

es un sistema de ecuaciones.

\mathbf{A}

es la matriz de coeficientes del sistema,

\mathbf{x} = (x_1,\dots,x_n)

es el vector columna de las incógnitas y

\mathbf{b}

es el vector columna de los términos independientes. Entonces la solución al sistema se presenta así:

x_j = \cfrac { \det(\mathbf{A}_j) }{ \det(\mathbf{A}) }

donde

\mathbf{A}_j

es la matriz resultante de reemplazar la j-ésima columna de

\mathbf{A}

por el vector columna

\mathbf{b}

. Hágase notar que para que el sistema sea compatible determinado, el determinante de la matriz

\mathbf{A}

ha de ser no nulo.

Ejemplo

Ejemplo de la resolución de un sistema simple de 2x2:

Dado

3x+1y = 9\,

2x+3y = 13\,

que matricialmente es:

\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 9 \\ 13 \end{bmatrix}

x e y pueden ser resueltos usando la regla de Cramer

x = \frac { \begin{vmatrix} 9 & 1 \\ 13 & 3 \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} } = { 9*3 - 1*13 \over 3*3 - 1*2} = 2

y = \frac { \begin{vmatrix} 3 & 9 \\ 2 & 13 \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} } = { 3*13 - 9*2 \over 3*3 - 1*2} = 3

Sistema de 3x3

La regla para un sistema de 3x3, con una división de determinantes:

\begin{cases} a{\color{blue}x} + b{\color{blue}y} + c{\color{blue}z} = {\color{black}j}\\ d{\color{blue}x} + e{\color{blue}y} + f{\color{blue}z} = {\color{black}k}\\ g{\color{blue}x} + h{\color{blue}y} + i{\color{blue}z} = {\color{black}l} \end{cases}

Que representadas en forma de matriz es:

\begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {\color{blue}x} \\ {\color{blue}y} \\ {\color{blue}z} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} {\color{red}j} \\ {\color{red}k} \\ {\color{red}l} \end{bmatrix}

x

y

z

pueden ser encontradas como sigue:

x = \frac { \begin{vmatrix} {\color{red}j} & b & c \\ {\color{red}k} & e & f \\ {\color{red}l} & h & i \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} }; \quad y = \frac { \begin{vmatrix} a & {\color{red}j} & c \\ d & {\color{red}k} & f \\ g & {\color{red}l} & i \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} } , \quad z = \frac { \begin{vmatrix} a & b & {\color{red}j} \\ d & e & {\color{red}k} \\ g & h & {\color{red}l} \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} }

Ejemplo

Dado el sistema de ecuaciones lineales:

3x+2y+1z = 1\,

2x+0y+1z = 2\,

-1x+1y+2z = 4\,

expresado en forma matricial:

\begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 4 \end{bmatrix}

Los valores de

x, y \text{ y } z

serían:

x= \frac { \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1\\ 2 & 0 & 1\\ 4 & 1 & 2 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} 3 & 2 & 1\\ 2 & 0 & 1\\ -1 & 1 & 2 \end{vmatrix} } ; \quad y= \frac { \begin{vmatrix} 3 & 1 & 1\\ 2 & 2 & 1\\ -1 & 4 & 2 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} 3 & 2 & 1\\ 2 & 0 & 1\\ -1 & 1 & 2 \end{vmatrix} } ; \quad z= \frac { \begin{vmatrix} 3 & 2 & 1\\ 2 & 0 & 2\\ -1 & 1 & 4 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} 3 & 2 & 1\\ 2 & 0 & 1\\ -1 & 1 & 2 \end{vmatrix} }

4.3.3 Propiedades de los determinantes

1 |A^t|= |A|

El determinante de una matriz A y el de su traspuesta A^t son iguales.

2 |A| = 0 Si:

Posee dos filas (o columnas) iguales.

Todos los elementos de una fila (o una columna) son nulos.

Los elementos de una fila (o una columna) son combinación lineal de las otras.

F₃ = F₁ + F₂

3 Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.

4 Si en un determinante se cambian entre sí dos filas (o dos columnas), su valor sólo cambia de signo.

5 Si a los elementos de una fila (o una columna) se le suman los elementos de otra multiplicados previamente por un número real, el valor del determinante no varía.

Es decir, si una fila (o una columna) la transformamos en una combinación lineal de las demás, el valor del determinante no varía.

6 Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por dicho número cualquier fila (o cualquier columna), pero sólo una.

7 Si todos los elementos de una fila (o columna) están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes en los que las demás filas (o columnas) permanecen invariantes.

8 |A · B| =|A| · |B|

El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes.

4.3.2 Expansión por cofactores

4.3.1 Definición de una determinante

En Matemáticas se define el determinante como una forma multilineal alternada de un cuerpo. Esta definición indica una serie de propiedades matemáticas y generaliza el concepto de determinante haciéndolo aplicable en numerosos campos. Sin embargo, el concepto de determinante o de volumen orientado fue introducido para estudiar el número de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales.

4.3 Determinantes

A cada matriz cuadrada A se le asigna un escalar particular denominadodeterminante de A, denotado por |A| o por det (A).

|A| =

Determinante de orden uno

|a₁₁| = a₁₁

Ejemplo

|5| = 5

Determinante de orden dos

= a ₁₁ a ₂₂ − a ₁₂ a ₂₁

Ejemplo

Determinante de orden tres

Consideremos una matriz 3x3 arbitraria A = (a_ij). El determinante de A se define como sigue:

= a₁₁ a₂₂ a₃₃ + a₁₂ a₂₃a ₃₁ + a₁₃ a₂₁a₃₂ −

− a₁₃ a₂₂ a₃₁ − a₁₂ a₂₁ a₃₃− a₁₁ a₂₃ a_32.

Obsérvese que hay seis productos, cada uno de ellos formado por tres elementos de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo).

Ejemplo

3 · 2 · 4 + 2 · (−5) · (−2) + 1 · 0 · 1 −

− 1 · 2 · (−2) − 2 · 0 · 4 − 3 · (−5) · 1 =

= 24 + 20 + 0 − (−4) − 0 − (−15) =

= 44 + 4 + 15 = 63

4.2.4 Matriz inversa

Si premultiplicamos (multiplicamos por la izquierda) o posmultiplicamos (multiplicamos por la derecha) una matriz cuadrada por su inversa obtenemos la matriz identidad.

A · A⁻¹ = A⁻¹ · A = I

Propiedades

1 (A · B)⁻¹ = B⁻¹ · A⁻¹

2 (A⁻¹)⁻¹ = A

3 (k · A)⁻¹ = k⁻¹ · A⁻¹

4 (A^t)⁻¹ = (A⁻¹)^t

Cálculo por el método de Gauss

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A⁻¹, seguiremos los siguientes pasos:

1 Construir una matriz del tipo M = (A | I), es decir, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.

Consideremos una matriz 3x3 arbitraria:

La ampliamos con la matriz identidad de orden 3.

2 Utilizando el método Gauss vamos a transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A⁻¹.

F₂ = F₂ − F₁

F₃ = F₃ + F₂

F₂ = F₂ − F₃

F₁ = F₁ + F₂

F₂ = (−1) F₂

La matriz inversa es: